Atletico Uraba và Independiente Medellín

Cuadrado sinh ra tại Necoclí, một thị trấn nhỏ ở miền bắc Colombia. Cha anh, ông Guillermo, một tài xế xe tải bị bắn chết khi anh chỉ vừa mới năm tuổi.[2]

Câu lạc bộ đầu tiên trong sự nghiệp của Cuadrado là đội bóng địa phương Atletico Uraba. Ban đầu anh thi đấu ở vị trí tiền đạo, nhưng sau đó theo lời khuyên của người thành lập Atletico Uraba là ông Nelson Gallego, anh chuyển sang vị trí tiền vệ cánh. Anh từng có thời gian ngắn thi đấu cho đội bóng hạng hai Rionegro và chủ yếu ngồi dự bị nhưng tài năng của anh đã được Independiente Medellín, một trong những câu lạc bộ lớn nhất Colombia để ý đến và anh chuyển sang Independiente Medellín vào năm 2008.

Cuadrado đã ghi bàn ngay trong trận đấu đầu tiên cho Independiente Medellín gặp Boyacá Chicó. Trong mùa giải này, anh thi đấu vị trí hậu vệ phải và vào mùa hè năm 2009, anh đến Ý thi đấu cho Udinese với phí chuyển nhượng không được tiết lộ.[3]

Udinese và Lecce

Cuadrado có khoảng thời gian thi đấu không thành công tại Udinese khi chỉ được ra sân 24 lần trong hai mùa bóng và không ghi được bàn thắng nào.[2] Sau đó anh được đem cho Lecce mượn vào mùa giải 2011-12 và anh đã có được ba bàn thắng và hai pha kiến tạo trong mùa giải mà anh được đá 33 trận, trong đó có bàn thắng với pha đi bóng từ giữa sân trong chiến thắng 4-1 trước Siena.[4] Mặc dù Lecce phải xuống hạng, tài năng của Cuadrado đã được Fiorentina chú ý đến. Fiorentina đã trả 4,5 triệu Bảng Anh để có được 50% quyền sở hữu Cuadrado.[2]

Fiorentina

Ngày 23 tháng 7 năm 2012, Cuadrado chính thức chuyển đến Fiorentina.[5] Anh có bàn thắng đầu tiên cho Fiorentina trong chiến thắng 4-1 trước Cagliari vào ngày 4 tháng 11 năm 2012.[6] Trong mùa giải đầu tiên với Fiorentina, anh có 5 bàn thắng và 6 pha kiến tạo, giúp Fiorentina có được vị trí thứ tư tại Serie A 2012-13.

Ngày 11 tháng 2 năm 2014, Cuadrado ấn định chiến thắng 2-0 cho Fiorentina trước đội bóng cũ Udinese tại bán kết lượt về Coppa Italia và Fiorentina giành chiến thắng chung cuộc 3-2.[7] Tuy nhiên anh đã không thể tham dự trận chung kết do bị treo giò[8] và đội bóng của anh sau đó đã phải nhận thất bại 1–3 trước Napoli. Trong mùa giải 2013-14, anh ghi được 11 bàn và có 5 lần kiến tạo.[9]

Ngày 16 tháng 6 năm 2014, trong bối cảnh các phương tiện truyền thông đưa ra khả năng về việc Cuadrado sẽ chuyển sang thi đấu cho một đội bóng lớn hơn, Fiorentina đã đồng ý mua lại toàn bộ quyền sở hữu hợp đồng của Cuadrado từ Udinese.[10] Anh có bàn thắng đầu tiên trong mùa giải 2014-15 trong trận đấu tại UEFA Europa League vào lưới đội bóng Pháp En Avant de Guingamp.[11] Ngày 24 tháng 10 năm 2014, anh gia hạn hợp đồng với Fiorentina theo đó sẽ gắn bó với đội bóng Ý đến năm 2019.[12] Anh rời Fiorentina trong kì chuyển nhượng mùa đông năm 2015 sau khi có được 20 bàn thắng sau 85 trận đấu trên mọi đấu trường cho đội bóng áo tím.[13]

Chelsea

Ngày 2 tháng 2 năm 2015, câu lạc bộ Anh Chelsea chính thức xác nhận đã chiêu mộ được Cuadrado từ Fiorentina theo bản hợp đồng có thời hạn bốn năm rưỡi với phí chuyển nhượng khởi điểm là 23,3 triệu £ và có thể lên đến 26,8 triệu £; tiền vệ Mohamed Salah chuyển đến Fiorentina theo dạng cho mượn như một phần của thỏa thuận giữa hai đội bóng.[13] Trong ngày ký hợp đồng, anh chia sẻ: "Tôi rất vui mừng và cảm ơn vì đã trao cho tôi cơ hội. Đây là một câu lạc bộ lớn và thực sự nó giống như một ước mơ gia nhập gia đình Chelsea và để biết rằng huấn luyện viên José Mourinho tin tưởng ở tôi. Tôi cảm thấy hạnh phúc."[14] Anh được mặc áo số 23, số áo trước đó của thủ môn Mark Schwarzer.

Năm ngày sau khi ký kết hợp đồng với Chelsea, Cuadrado có trận đấu đầu tiên cho đội bóng mới khi vào sân thay cho Willian trong 10 phút cuối chiến thắng 2-1 trước Aston Villa.[15] Ngày 11 tháng 2, anh chính thức có trận đấu đầu tiên tại Stamford Bridge cũng như lần đá chính đầu tiên cho Chelsea trong chiến thắng 1-0 trước Everton.[16] Anh có danh hiệu đầu tiên với Chelsea là Cúp Liên đoàn sau chiến thắng 2-0 trước Tottenham Hotspur trong trận chung kết, nơi anh có mặt từ phút thứ 76.[17] Phong độ của Cuadrado trong những trận đấu đầu tiên của anh tại Giải Ngoại hạng Anh là rất kém, đỉnh điểm là pha bỏ lỡ cơ hội ở khoảng cách chỉ vài mét trong trận đấu với Stoke City. Huấn luyện viên Mourinho phát biểu Cuadrado cần thêm thời gian để thích nghi.[18]

Ngày 3 tháng 5, Cuadrado được ra sân từ đầu trong chiến thắng 1-0 trước Crystal Palace, chiến thắng giúp Chelsea có được danh hiệu vô địch Premier League thứ tư trong lịch sử.[19] Ba tuần sau đó, trong trận đấu cuối cùng của mùa giải với Sunderland, anh đã đem về một quả phạt đền cho Chelsea giúp Chelsea cân bằng tỉ số 1-1 và thắng chung cuộc 3-1.[20]

Ngày 16 tháng 8, Cuadrado có trận đấu đầu tiên trong mùa giải 2015-16 khi vào sân từ ghế dự bị trong trận thua 0-3 trước Manchester City.[21]

Juventus

Ngày 25 tháng 8 năm 2015, Cuadrado đến Juventus theo thỏa thuận cho mượn từ Chelsea cho đến hết mùa giải 2015-16.[22] Năm ngày sau đó, anh có trận đấu đầu tiên cho "Bà đầm già" khi vào sân ở phút thứ 75 trận thua AS Roma 2-1.[23] Ngày 31 tháng 10, anh ghi bàn ở phút 90+3 để đem vè chiến thắng 2-1 trước Torino, bàn thắng đầu tiên của anh cho Juventus.[24]

Ngày 16 tháng 3 năm 2016, Cuadrado có bàn thắng đầu tiên tại UEFA Champions League, ghi bàn nâng tỉ số lên 2-0 trong trận thua Bayern München 4-2 tại lượt về vòng 1/16. Ngày 21 tháng 5, vào sân từ băng ghế dự bị, anh kiến tạo cho Álvaro Morata ghi bàn thắng duy nhất trong trận chung kết Coppa Italia 2016, giúp Juventus có được cú đúp danh hiệu giải quốc nội thứ hai liên tiếp.[25] Tổng cộng Cuadrado có được 4 bàn thắng và 6 kiến tạo trong khoảng thời gian được đem cho mượn tại Juventus.[26]

Cuadrado trở lại Chelsea trong mùa hè 2016 và tham gia một số trận giao hữu trước mùa giải. Tuy nhiên đến ngày 31 tháng 8, Cuadrado trở lại Juventus theo hợp đồng cho mượn có thời hạn ba năm, trị giá 5 triệu € mỗi mùa giải, cộng với điều khoản có thể mua đứt sau đó.[27] Ngày 5 tháng 2 năm 2017, Cuadrado có được bàn thắng đầu tiên ở Serie A sau 9 tháng và đây cũng là bàn thắng duy nhất đem về chiến thắng 1-0 cho Juventus trước Inter Milan.[28]

2017-18

Ngày 26 tháng 8 năm 2017, Cuadrado có bàn thắng đầu tiên trong mùa giải 2017-18 với pha lập công trong chiến thắng 4-2 trước Genoa.[29] Ngày 5 tháng 11, anh ghi bàn từ một pha đánh đầu cận thành hoàn tất cú lội ngược dòng của Juventus trước Benevento Calcio.[30] Ngày 5 tháng 12 năm 2017, anh có bàn thắng đầu tiên tại Champions League kể từ tháng 10 năm 2016 khi mở tỉ số trong chiến thắng 2-0 trước Olympiacos.[31]

Ngày 31 tháng 3 năm 2018, Cuadrado ghi bàn thắng nâng tỉ số lên 2-1 trong chiến thắng 3-1 của Juventus trước AC Milan tại Serie A.[32] Anh kết thúc mùa giải 2017-18 với cú đúp danh hiệu quốc nội Serie A và Coppa Italia, trong đó anh thi đấu trọn 90 phút trận chung kết Coppa Italia thắng AC Milan 4-0.[33]